Successione di Fibonacci: complessità algoritmica, frattali e natura #fractals #fibonacci #math

Successione di Fibonacci – Episodio 2. Potrei iniziare a pensare di fare una saga tipo Guerre Stellari.

Successione di Fibonacci e frattale di Mandelbrot

Successione di Fibonacci e frattale di Mandelbrot

Ieri parlando delle successione di Fibonacci ho considerato principalmente l’aspetto matematico ed informatico. Prima di proseguire sugli aspetti più “romantici” (ammesso che di romanticismo si possa parlare) della successione in esame, torno un attimo sulla parte informatica (DISCLAIMER: le prossime righe sono nerd) per completarla facendo notare come il grado di complessità della versione ricorsiva della funzione che calcola il valore del numero ennesimo della successione di Fibonacci è O(2^n), pertanto un grado di complessità esponenziale, mentre il grado di complessità della versione iterativa è approssimato ad un grado di complessità lineare O(n).

Per i non addetti ai lavori cerco di spiegare in parole più semplici. Pensate in maniera naturale: ci vogliono più energie per qualcosa di complesso o per qualcosa di semplice? Bene, esiste un metodo per dare un valore oggettivo alla complessità degli algoritmi e più alto è il valore ottenuto, maggiore è la complessità. Un grado esponenziale è sempre maggiore di un lineare; questo è più facile capirlo guardando l’immagine che allego di seguito. La retta, andando verso l’infinito, sarà sempre più “lenta” di qualsiasi curva esponenziale.

Curve esponenziale e lineare: la lineare è sempre più "lenta"

Curve esponenziale e lineare: la lineare è sempre più “lenta”

Più un algoritmo è complesso, più questo impegnerà il processore e più sarà il tempo impiegato per risolvere il problema. Chiaramente l’obiettivo non è l’eleganza quanto l’efficienza del codice e un buon indice per misurarla è la velocità di esecuzione. Meno tempo impiega il programma, meglio è.

In soldoni, la versione iterativa della successione di Fibonacci è preferibile se dovesse essere usata in un algoritmo.

Ok, fine della parte nerdosamente informatica. Passiamo ad altre nerdate (tanto parlando di successioni matematiche e di successioni di Fibonacci difficilmente si riuscirà a non ricadere nel nerdismo e lo sperato romanticismo possiamo tranquillamente scordarcelo).

Natura: conigli e fiori

Riprendiamo da un aspetto più naturalistico, così da alleggerire il discorso. Possiamo anche cercare di fare un po’ di SEO e vedere cosa capita 🙂 (la tentazione è troppo forte…). Sono anche curioso delle future parole di ricerca :p…

Leonardo Fibonacci pose il problema in questi termini (meno triviali). Facciamo l‘ipotesi che si tromba come conigli e che questi sono fertili: che accade? Ecco, probabilmente da questa domanda a cui tutti hanno sempre cercato di dare risposta, il Fibonacci ha preso ispirazione, tanto che la sua ipotesi era così formulata:

  1. prendiamo due conigli appena nati
  2. questi sono fertili ad un mese di vita e/o, trombando come conigli (appunto), generano una nuova coppia di conigli al secondo mese di vita
  3. le nuove coppie formate funzionano alla stessa maniera
  4. ogni mese, una coppia fertile, dà alla luce una nuova coppia

Ok, a parte la ragione del detto “trombare come conigli”, cosa succede? Al primo mese 1 coppia, al secondo 2, al terzo 3, al quarto 5, al quinto 8 e così via… 1, 2, 3, 5, 8… Fibonacci.

Beh, ma questa, direte voi, è una cosa fatta su carta. Vero, ma come dicevo nello scorso post su Fibonacci, pensiamo anche alle piante e ai fiori.

Nei fiori il numero di petali corrisponde quasi sempre ad un numero facente parte della successione di Fibonacci. Sbirciando su Wikipedia si ha conferma di questa evidenza:

i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l’astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove

Per la questione delle monocotiledoni che dicevo nello scorso post, ricordavo più o meno giusto. Per approfondire l’argomento rimando al pdf sul sito della Statale di Milano.

Sulla forma della spirale generata dalla succesione di Fibonacci, inoltre, troviamo in quella disposizione i semi di girasole e la forma di talune conchiglie.

Di nuovo nerd: il frattale di Mandelbrot

L’immagine con cui ho aperto il post l’ho realizzata distorcendo la spirale derivante dalla successione di Fibonacci e sovrapponendo il frattale di Mandelbrot e una parte testuale di successione (ripetuta e spostata, di volta in volta, di un numero di pixel pari al valore ennesimo di Fibonacci. L’ultimo in alto a destra dista 144px in alto e a destra dal precedente testo, quello precedente 89px e così via). Ovviamente il rapporto altezza/larghezza che ho usato per ritagliare il tutto è un’approssimazione del meraviglioso 1,618033… (sezione aurea…)

Non scendo nel dettaglio dei frattali e nella teoria delle dimensioni frattali. Basti sapere che, per provare a semplificare, si potrebbe pensare invece che un numero di dimensioni intere (0 dimensioni un punto, 1 dimensione è lo sviluppo di una retta, 2 dimensioni un disegno su un foglio di carta, 3 dimensioni lo spazio che ci circonda, 4 se contiamo il tempo ecc.) un numero di dimensioni frazionarie… 1,2 dimensioni… 1,7 e così via. Non è immaginabile ed è un casino. Ecco, questa è la versione già semplificata 😀 Oltre credo riescano ad andarci soltanto i premi Field (i Nobel della matematica).

Senza addentrarci nei casini, restiamo a livelli più elevati. Il frattale di Mandelbrot è probabilmente uno dei più noti (insieme a quello di Koch) e lo riporto nella prossima figura.

La Successione di Fibonacci nel frattale di Mandelbrot ricorre analizzando il numero di bulbi (le parti a palloncino della figura) si può capire il periodo del bulbo primario (il più grosso dell’iterazione) contando il numero di raggi uscenti da ogni “antenna”. Una spiegazione con un le immagini la trovate su un sito dedicato, de facto, a Fibonacci.

Conlcusioni

Visto che il nerd che è in me non tende a sopirsi presto, credo che proseguirò sulla questione Fibonacci ancora un pochino.

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4 Pensieri su &Idquo;Successione di Fibonacci: complessità algoritmica, frattali e natura #fractals #fibonacci #math

  1. Io con la mia mente tutt’altro che matematica in tutto questo ragionare su Fibonacci sono sempre stata affascinata dal fatto che, in effetti, certe formule o successioni matematiche esistano a prescindere della loro scoperta da parte dell’uomo. Mi spiego meglio (se mi riesce). In matematica, contrariamente a ciò che appare a noi profani, non si inventa nulla, come già accennavi tu nel precedente post, ma si traggono delle successioni logiche di cifre direttamente dalla realtà. La misurabilità della realtà è squisitamente matematica al di là dell’apparente caos naturale. La sequenza di Fibonacci è verificabile in natura così come il π che permette di calcolare la circonferenza del cerchio. Nessuno se l’è inventato ma esisteva indipendentemente da Archimede o da chiunque lo avrebbe potuto scoprire al suo posto. Tutto questo mi ha sempre fatto pensare che, probabilmente, tutto ciò che ancora oggi appare a noi come caotico, in realtà, corrisponda a delle leggi che aspettano solo di essere decodificate. Poco romantico anche questo in effetti…

  2. La ricerca sul Bosone di Higgs fornisce risultati che la fisica quantistica brama da tempo. Lo studio dei livelli sub-atomici, tuttavia, deve essere posto in relazione con la geometria frattale, cioè con un campo di studi che, attraverso la successione di Fibonacci, ha chiarito che elementi naturali apparentemente privi di ordine morfologico (una nuvola, la disposizione dei fiori su una pianta, una galassia) sono in realtà forme prodotte dall’autosimiglianza o autosimilarità, cioè composte da parti più piccole, sempre più piccole, infinitesimali, che hanno perimetri corrispondenti al tutto.
    Infine, queste argomentazioni, non possono prescindere dall’essere applicate alla domanda che, da millenni, agita le menti e le coscienze: in che rapporto sta la scienza con la fede? E’ possibile ricercare Dio attraverso i risultati dell’indagine scientifica? E, se sì, a quali insidiose rivelazioni si può giungere?
    Ho studiato per lunghi anni numerosi eventi che, realmente accaduti, hanno occupato le cronache nazionali ed estere (gli studi di Michael Persinger su un particolare stimolatore cerebrale capace di indurre visioni mistiche, le ricerche su un gene, il VMAT1 che, in chi lo possiede, consentirebbe di interferire con la chimica del proprio corpo, l’analisi delle sequenze numeriche su cui sviluppare la forma di una conchiglia, l’apparente coincidenza nelle dimensioni e nei rapporti tra dimensioni di edifici ecclesiastici, le incredibili carriere di funzionari vaticani addetti all’archivio segreto, le inesplicabili risorse finanziarie concesse dalla Chiesa a colui che ha edificato una cattedrale in Spagna) e su tali fatti ho basato la trama di un romanzo che vi prende spunto.
    Mi permetto di sussurrare, sottovoce, sperando di non disturbare, l’uscita, prevista il 19 giugno, del libro intitolato IL NUMERO DI DIO, dove il “phi”, cioè 1,618, promette di farvi porre, nel minimo, delle domande le cui risposte potrebbero rappresentare un pontile tra scienza e fede.

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